A contratação de janeiro de Brann quebrou o jejum do Hearts com um chute impressionante de 20 jardas para dar aos anfitriões uma vantagem no primeiro tempo.
Joe Shaughnessy cabeceou o cruzamento de Ziyad Larkeche para empatar após o intervalo, mas o gol contra de cabeça de Simon Murray após cobrança de falta de Blair Spittal colocou os anfitriões na frente novamente.
E Kartum girou e cortou um chute rasteiro pela defesa do Dundee para garantir que o time de Neil Critchley avançasse para as semifinais.
“Vimos a qualidade que Sander tem”, disse o técnico Critchley à BBC Scotland.
“Ele está melhorando cada vez mais nos treinos. Com o pé esquerdo na ponta da área, é isso que ele consegue fazer. Foram dois gols fantásticos e decisivos.”
Elton Kabangu, Calem Nieuwenhof e Alan Forrest foram negados por Trevor Carson enquanto o Hearts pressionava por uma vitória mais enfática.
O sorteio das semifinais acontece ao vivo na BBC Scotland e no iPlayer após Livingston x St Johnstone na segunda-feira à noite. O Aberdeen recebe o Queen’s Park no sábado e o Hibernian visita o campeão Celtic no domingo.
Critchley e seus jogadores podem passar os próximos três dias avaliando seus potenciais oponentes no fim de semana de 19 e 20 de abril.
Eles começam sua preparação para Hampden em 15 de março em casa para os oponentes da Premiership escocesa Ross County.
A sobrevivência na Premiership agora se torna o foco de Dundee, com um clássico no United em seguida para os homens de Tony Docherty em 16 de março.
O que eles disseram
Treinador principal do Hearts, Neil Critchley: “Os jogadores estão melhorando e dando grandes passos à frente e continuamos fazendo isso esta noite.
“Quando chegarmos a Hampden, espero que possamos ir e aproveitar o jogo. Mal posso esperar porque nunca fui. Estou realmente ansioso por isso.”
Treinador do Dundee, Tony Docherty: “Decepcionado. Achei que fizemos nossa parte no segundo tempo. Tínhamos o Hearts exatamente onde queríamos. Tínhamos tudo a nosso favor em 1-1.
“Não acho que seja uma cobrança de falta que leve ao segundo gol, mas precisamos defender isso melhor. O terceiro gol meio que mata. Deveríamos fazer melhor no meio do campo.”